Toevaligerwijze kwam ik kort achter elkaar verwijzigingen naar de intrigerende figuren tegen die ik vroeger tekende met de "Spirograph". Al snel duizelde het mij van de verschillende termen. Want wat is precies een 'cycloïde', 'hypocycloïde', 'epicycloïde' of 'trochoïde'? En zou het mogelijk zijn deze wonderlijke figuren, zowel op mechanische als elektronische wijze, te projecteren met een kleine halfgeleider laser?
Als experiment voerde ik de versnellingsbak met zes versnellingen dubbel uit. Nadat ik de mechanische oplossing in actie had gezien, bouwde ik de 'projector' met een aanzienlijk kleinere footprint op door de roterende spiegels elektronisch aan te sturen.
Een cycloïde is een wiskundige figuur. Het is het pad dat wordt afgelegd door een punt op een cirkel die over of langs een andere figuur (zoals een andere cirkel) rolt. Visueel erg markant zijn de hypocycloïden, waarbij een (tand)wiel binnenin een ander (tand)wiel rondgaat. Een stip op de omtrek van het binnenste tandwiel beschrijft, als we dit tandwiel draaien, een curve die we een hypocycloïde noemen. Zetten we het stipje niet op de rand, maar meer richting het draaipunt, dan noemen we deze curve een trochoïde. Hypo- is Grieks voor 'onder' en epi- is Grieks voor 'op'. Leggen we een klein tandwiel in een grotere, dan tekenen we hypotrochoiden, laten we een klein tandwiel buitenom het grotere rondgaan, dan verschijnen er epitrochoiden. Zonder het te beseffen tekenden wij als kinderen met de aloude Spirograph-tekenset dus al heuse trochoïden!
Lees meer over de wiskundige achtergrond van deze intrigerende figuren op de Wikipedia pagina over cycloïden. Daar komt ook de verhelderende animatie hiernaast vandaan.
Praktisch gezegd ontstaan cycloïden door een cirkelcurve (zoals de baan die de stip op het binnenste wiel beschrijft) met een bepaalde diameter, te ‘moduleren’ (te vermenigvuldigen) met een tweede cirkelcurve met een andere diameter (zoals het buitenste wiel waarover, of waarbinnen, het andere wiel rondgaat).
Deze curves zijn vanzelfsprekend wiskundig te beschrijven met formules. Belangrijke parameters hierin zijn de straal van het buitenste en het binnenste (tand)wiel. De verhouding hiertussen bepaalt de vorm van de cycloïde. De uitleg met kleine animaties op de (Engelstalige) Wikipagina over hypotrochoïden verduidelijkt de materie en maakt tevens duidelijk dat er binnen de familie van de cycloïden diverse specifieke varianten zijn.
Naast de gebruikelijke puntige cycloïden, zijn er zowel verkorte als uitgerekte epicycloïden (buitenlangs), pericycloïden (de lijn volgend) en hypocycloïden (binnenlangs), die respectievelijk epitrochoïden, peritrochoïden en hypotrochoïden worden genoemd. Daar komt nog bij dat sommige verhoudingen zelfs een eigen naam hebben. Zo word de cycloïde met een verhouding 3/2 bijvoorbeeld een Deltoide genoemd. Duizelt het je al?