Bij een voorgaand project had ik met behulp van een halfgeleiderlaser en twee roterende spiegels zogenaamde hypocycloïden geprojecteerd. Deze curves werden bepaald door de cirkelvormige beweging langs de omtrek van een andere cirkel.
Als we de spiegels echter niet laten roteren, maar ieder in een andere richting laten trillen, ontstaan zogenaamde Lissajousfiguren. Als een logisch vervolg van de eerdere experimenten met laserprojectie, probeerde ik deze figuren zuiver mechanisch te creëren.
De met roterende spiegels geprojecteerde hypocycloïden laten zich wiskundig uitdrukken in poolcoördinaten. Formules voor Lissajousfiguren leveren daarentegen cartesische (x- en y-) coördinaten. De figuren kunnen worden geprojecteerd door trillingen over te brengen op spiegels en worden ook wel Bowditch-curven genoemd, naar Nathaniel Bowditch, die ze reeds in 1815 bestudeerde. De figuren werden later in meer detail bestudeerd door Jules-Antoine Lissajous (1822-1880). Lissajous was hoogleraar wiskunde aan het Lyceé Saint-Louis in Parijs, waar hij allerlei trillingen en golven bestudeerde. In 1855 vond hij een eenvoudig optisch apparaat uit om samengestelde trillingen te analyseren. Hij bevestigde spiegeltjes aan de tanden van twee haaks op elkaar trillende stemvorken. Wanneer een lichtstraal op een van de spiegels werd gericht, kaatste het terug naar de andere spiegel en vandaar naar een scherm, waar het een tweedimensionaal patroon vormde, het resultaat van superpositie van de twee trillingen. Dit eenvoudige apparaat - een voorloper van de moderne oscilloscoop - was een noviteit in zijn tijd; tot dan toe hing de studie van geluid volledig af van het gehoorproces, dat wil zeggen van het menselijk oor. Lissajous maakte het letterlijk mogelijk om 'geluid te zien'.
Wie meer wiskundige achtergrondinformatie en theorie over Lissajousfiguren zoekt, kan online zijn hart ophalen. Er is veel over geschreven en er zijn ook op YouTube veel filmpjes over. De Wikipedia-pagina biedt een goed startpunt.
Voordat ik ging experimenteren met mechanische oscillatie en projectie met een lichtstraal, besloot ik de figuren eerst eens te bekijken op mijn oscilloscoop. In de XY-modus van een oscilloscoop bepaalt één signaal de Y-afbuiging en het andere signaal de X-afbuiging die normaliter door het tijddomein wordt gerepresenteerd. Op deze manier wordt de frequentieverhouding van de twee signalen zichtbaar gemaakt. Bij het aanbieden van twee sinusgolven, verschenen er al snel herkenbare Lissajous-patronen op het beeldscherm. In de afbeelding hiernaast zijn boven in beeld de twee aangeboden sinusgolven in het tijdsdomein zichtbaar, daaronder het Lissajousfiguur met frequentieverhouding 2:3.
Wie niet over een oscilloscoop en golfgenerator beschikt, kan online diverse Lissajous-simulatoren vinden waarmee virtueel kan worden geëperimenteerd. Door de faseverschuiving tussen twee golven met eenzelfde frequentie te variëren wordt bijvoorbeeld inzichtelijk dat de schuine lijn op het display feitelijk een zijaanzicht van een gekantelde cirkel is.
Voor de projectie met een laserstraal zullen twee spiegels onafhankelijk van elkaar moeten kunnen worden gemoduleerd. Het fraaie overzicht hiernaast vond ik online en toont enkele voorbeelden die (theoretisch) met de versnellingsbak van het voorgaande project zouden moeten kunnen worden gemaakt.
Net als bij de hypocycloiden is de uiteindelijk geprojecteerde vorm afhankelijk is van de oscillatie-verhouding van de twee bewegende spiegels. De beweging van elke spiegel zou theoretisch zo zuiver mogelijk in één richting moeten zijn. De uitdaging is hier de storende invloed van bewegingen in andere richtingen door trillingen en speling in de tandwieloverbrengingen zo veel mogelijk te beperken.
Het meest voor de hand ligt, de oscillerende beweging met een hefboom te maken. Indien deze wordt aangedreven door een acentrisch geplaatste as op een draaiend wiel, verloopt de beweging dan bovendien direct volgens een zuivere sinusgolf. Ik bouwde hiertoe de hiernaast getoonde opstelling met twee oscillerende spiegels aan de uitvoerzijde van de versnellingsbak.
De uitslag van de hefboom moet slechts klein zijn. De door de eerste spiegelbeweging afgebogen laserstraal moet immers geheel op de tweede spiegel blijven vallen. Met deze methode is de uitslag van de spiegel instelbaar door het verschuiven van het draaipunt van de drijfstang. Deze kan, indien nodig, dicht bij de draaias worden ingesteld.
De resulterende projectie is helaas niet meer dan een vlot bewegende lichtstip. De koppeling van fysica en optica kon er prima mee worden aangetoond, maar zoals reeds verwacht bleek een maximale oscillatiefrequentie van maximaal 25 Hz wederom te laag om goed herkenbare figuren te projecteren. De opportunistische fotomontage hierbovene geeft hopelijk een indruk van wat zelfs met de langste sluitertijden niet was te fotograferen. Op vertraagde filmbeelden die ik maakte is echter te controleren verwachtte Lissajousfiguren door het lichtpunt worden beschreven.
Door toepassing van twee individuele motoren kan de snelheid van de boven beschreven hefboommethode vanzelfsprekend behoorlijk worden verhoogd. Eén volledige heen en weer beweging van de spiegel komt echter overeen met een omwenteling van het aandrijvende wiel met de hefboom, en een kort experiment toonde aan dat de krachten en trillingen in het model dan behoorlijk kunnen oplopen. Daarom zocht ik naar een methode waarmee minder tandwielen en massa in beweging hoefde te worden gezet, en dat bovendien toe kon met minder draaipunten en hefbomen. Hier kwam de 3D-printer weer van pas. Het uiteindelijke proto-type van een rol met ovale doorsnede, waarmee de sinusbeweging op het spiegelplateau kan worden overgebracht, is te zien in de foto hiernaast.
De rol kan direct op de wormas (31069) van een fischertechnik 'Schneckengetriebe' voor de Mini Motor of S-Motor worden geschoven (download STL file). Door het oppervlak van de rol af te laten tasten door geleiders aan het plateau wordt de oscillerende beweging zo direct mogelijk met een relatief kleine uitslag doorgegeven. Bovendien worden beide plateaus door hun eigen motor aangedreven waardoor de versnellingsbak kan vervallen en het geheel op een kleine bouwplaat kan worden ondergebracht (het scheelt immers 60 tandwielen en 16 kettingoverbrengingen!). Voor de motorregeling koos ik wederom voor mijn Zauberling, die standaard reeds voorziet in een dubbele motorregeling. Vanzelfsprekend kan met een ftDuino, fischertechnik TXT-controller of zelfs twee losse motorregelingen iets soortgelijks kunnen worden opgebouwd.
Door te experimenteren met de verschillende draaisnelheidverhoudingen, kan theoretisch het hele scala aan in afbeelding 2 getoonde Lissajous-figuren worden doorlopen.
Het bleek alleen aanmerkelijk lastiger dan bij de hypocycloïden uit deel 1 om de figuur echt stabiel stil te laten staan. Door speling en trillingen zijn de afbuigrichtingen ook niet 100% zuiver. De X-spiegel kon ondersteund worden en ‘trilt’ op een tafeltje. De Y-afbuiging trilt vrij hangend aan de veren (31892) en is daardoor iets gevoeliger voor storende invloeden van trilling en speling. Het is daarom zeker de moeite waard te onderzoeken of de ophanging van de spiegelplateaus op deze punten nog verbeterd kunnen worden.
Het is met wat experimenteren gelukt op zuiver mechanische wijze Lissajous figuren te projecteren met een halfgeleiderlaser. Stabiele projecties vereisen echter vrij hoge snelheden en het is moeilijk om de storende invloeden op de beweging zo klein mogelijk te houden. De invloed van trillingen en speling vertaalt zich snel in een wat ‘bibberende’ projectielijn. Bovendien beperkt de relatief lage oscillatiesnelheid de herkenbaarheid van de figuren.
Toch valt te concluderen dat het projecteren van Lissajous-figuren met een laser een leuke en creatieve manier is om de eigenschappen van golven en trillingen te onderzoeken. Er zijn complexe en mooie patronen te creëren die zowel visueel verbluffend als wetenschappelijk informatief zijn.
Voor professionele laserprojectie lijken de hier onderzochte mechanische oplossingen weinig bruikbaar. Daarvoor worden gespecialiseerde lasergalvanometers gebruikt waarmee het mogelijk is de spiegels veel sneller en naukeuriger te moduleren. In zijn meest eenvoudige vorm bevat een dergelijk 'lasergalvo spiegelsysteem' simpelweg twee kleine DC-motoren die direct met een symmetrisch ingangssignaal kunnen worden bewogen. Wellicht zou het een mogelijk toekomstig experiment zijn te onderzoeken of met de juiste elektronische aansturing de fischertechnik motoren hiervoor zou kunnen worden gebruikt. Het zou de storende invloed van de mechanica elimineren maar ons weer voor nieuwe uitdagingen stellen. De spiegels zouden immers moeten worden aangestuurd met zo zuiver mogelijk gevormde sinussignalen waarvan de frequentie naukeurig kan worden geregeld.
